아인슈타인은 1915년 일반상대성이론에서 시공간과 우주의 물질 사이의 작용으로 중력을 대치하였다. 그는 뉴턴이 질량을 정의하는데 뉴턴 제2법칙과 중력 법칙이라는 2개의 다른 법칙이 적용되고 있는데 유의하였다. 

가령 크기가 알려진 힘으로 물체를 가속시킬 경우 뉴턴의 제2법칙에 의해 우리는 물체의 가속도를 측정할 수 있고, 이 가속도를 물체에 작용한 힘의 크기로 나누면서 이 물체의 관성질량을 알 수 있다. 물체의 질량을 측정할 수 있는 방법은 또 있는데, 가장 간단한 방법으로 저울에 무게를 재어 보는 것이다. 이렇게 결정된 질량을 중력질량이라 부른다.

뉴턴은 물체의 관성질량과 중력질량이 동일하다고 믿었고, 갈릴레오의 낙하 물체에 대한 실험과 자신의 세심한 실험으로부터 그것이 사실임을 알게되었다. 오늘날 역시 이 두 질량은 실험적으로 놀랍도록 정확하게 일치함이 실증되었고, 실험방법에 사용된 감도 측정의 한계까지 그 차이를 검출할 수 없을 정도였다. 현재까지 가장 좋은 실험은 모스크바 대학의 브래진스키와 파노프에 의해 실시되었는데, 그들은 금과 백금의 관성 질량과 중력 질량이 1000억 분의 1에 이르는 정밀도로 동일함을 알아냈다.

아인슈타인은 이 두 질량 사이의 동일서이 결코 우연한 것이 아니라고 생각하였다.

만일 우리가 항성들은 물론이고 주변에 감지할 수 있을 정도의 질량 조차도 없는 텅빈 우주공간에 있다고 상상해보자. 그리고 이 우주 공간 속에 밖을 볼 수 없는 커다란 우주선에 타고 있다고 상상해보자. 우리는, 이 텅빈 우주공간 속 우주선 안에서 어떠한 중력도 느끼지 못한체 바닥과 천정을 자유롭게 이동할 수 있다.

이제 이 우주선이 일정한 가속도로 이동하기 시작한다면, 우주선 속의 우리는 우주선의 이동방향과 반대방향으로 관성을 받으며 방대방향으로 가속력을 받을 것이다. 관성의 결과 우리는 우주선의 벽에 닫게 될 것이고, 이제 우리는 벽면에서 쓰러지지 않기 위해 두 다리로 벽으로부터 가해지는 압력을 받아들여여 한다.

상자안의 우리는 중력에 대한 기본 지식에 의존해, 자신이 어떤 특정 중력장 내에 위치하고 있다고 믿게된다. 이런 상태에서 우리는 이 공간이 가속되고있는 우주선의 내부에서 느끼는 관성력과 중력장에 의해 느끼는 중력을 구분할 수 없음을 뜻한다. 이것을 아인슈타인 등가의 원리라고 한다.

등가의 원리는 중력과 가속운동이 근본적으로 동일함을 이야기하고 있으며, 국소적으로 중력을 없에는 방법을 마련해 준다. 가령, 고층 빌딩의 승강기 속에 있는 사람은 승강기가 자유낙하할 때 자신의 무게가 없어지는 것을 느끼게 될 것이다. 이제 고층빌딩에서 자유낙하하는 승강기 속 사람이 지면과의 충돌로 다시 중력을 느끼지 않도록 지구를 관통한는 고대한 터널을 뚫었다고 생각해보자.

승강기가 지구를 관통하는 긴 터널을 지나면, 승강기는 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지 약 84분 간격으로 자유낙하를 되풀이하게 된다. 이 왕복운동에서 승강기 안의 사람은 아무런 가속도도 느끼지 못한체 영원히 무중력을 경험할 수 있게 된다.

이제 2개의 실험 입자 하나씩 터널의 양 끈텡서 떨어뜨리면 이들 역시 약 84분의 주기를 가지고 단진동을 하게 되는데, 이들 두 입자의 경로는 서로 제각기 상대적으로 구부러지게 된다. 이것은 지구 내부의 공간이 구부러져 있음을 알려준다.

이인슈타인의 일반상대성이론에 따르면 질량의 분포는 시공간의 기하학을 결정한다. 무거운 물질은 그 주변의 시공간을 구부러뜨리고, 그 구부러짐은 가속 운동으로 나타난다. 뉴턴의 중력이 가속운동을 일으키는 이유는 바로 이러한 이유에 근거한 것이며, 실제 천문학적 거리에 있는 천체들의 외관은 지구로 향하는 빛이 통과하는 시공간의 구부러짐에 영향을 받는다.

유클리드 기하와 비유클리드 기하 [1]

평면기하의 기초는 기원전 300년경 유클리우드가 제시하였다. 유클리드는 ‘기하학 원론’이란 책에서 465개의 정리들은 차례차례 자명한 사실들을 포함하고 있다. 이들 증명은 증없이이 제시되는 5개의 공리들로부터 유도된다.

1. 어느 점에서 다른 점까지 직선을 긋는 것은 가능하다.
2. 하나의 직선에서 연속되는 유한의 직선을 만들 수 있다.
3. 어떤 중심과 거리를 지닌 원을 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 동일하다.
5. 두 개 직선을 지나는 직선이 두개의 직각보다 작은 명에서 내부각을 이룬다면, 두 개 직선은 두개의 직각보다 작은 각을 이룬 쪽에서 만난다.

유클리드의 5번째 공리는 약간 어색하다. 그런데 잠깐 생각해보면 이 5번째 공리는 평행선의 성질과 관련되어 있다는 것을 알 수 있으나, 이 5번째 공리는 19세기의 많은 수학자들의 눈에 어색하게 보였다. 그래서 이들은 이 명제가 나머지 4개의 공리들로부터 유도될지 모른다고 생각하였다. 즉, 귀류법에 의해 평행선 공리를 부정하여 모순이 일어남을 증명할 수 있다면, 평행선 공리는 더이상 공리로서의 자격을 유지하지 못하고, 나머지 공리들로부터 유도되는 하나의 정리가 될 것이라고 생각했다.

그러나 수학자들의 이러한 기대는 무너지고 말았다. 대신 놀랍게도 가우스, 로바케프스키, 볼예이, 리만이라는 유명한 수학자들에 의해 유클리드기하학과 마찬가지로 모순없이 완전히 잘 기술된 새로운 기하학 체계를 얻었고, 1868년, 이들이 찾아낸 두 개의 추가적인 기하학은 본례의 유클리드 기하학과 논리적으로 일치하는 것이 증명되었다.

첫 번째 추가적인 기하학은 리만에 의해 개발된 타원기하 평행성의 공리이다.

5. 평면에서 선 L과 L에 놓여있지 않은 한 점 P가 주어진다면, P를 통과하며 L에 평행한 선은 존재하지 않는다.

리만의 기하학은 공 표면의 기하를 서술해주고 있다. 여기서 구의 적도에 수직인 곳에서 출발한 두 선은 극에서 만난다. 타원기하에서 삼각형의 내각을 합하면 180도 보다 크고, 원주의 길이는 2πr보다 작다.

두 번째 추가적인 기하학은 가우스, 볼예이, 로바케프스키에 의해 독자적으로 개발된 것으로, 유클리드 기하보다 더 일반적이다.

5. 평면에서 선 L과 L에 놓여있지 않은 한 점 P가 주어진다면, P를 통과하며 L에 평행한 선은 적어도 2개 존재한다.

위 그림에서 말 안장 형태의 쌍곡면에 적용되는 기하를 보여주고 있는데, 점 P를 지나는 것으로 보이는 두 선들 중 어느 선도 L과 만나지 않고, 무한히 많은 직선을 그을 수 잇다. 이를 쌍곡선 기하라고 하는데, 이 기하에서는 삼각형 내각의 합리 180도 보다 작고, 원주의 길이는 2πr보다 크다.

평행선 공리의 논리적 독립성은 이 가정이 유클리드의 이전 가정들로부터 유도될 수 없음을 의미한다. 임의적으로 어떤 기하 체계를 선택해도 좋으며, 3가지 모두 수하걱인 관점에서 타당하다.

공간의 곡률 측정

독일 하노버의 영토 측량을 관리하던 가우스는 1820년 초 실제 공간의 곡률을 측정하는 실험을 수행하였다. 그는 큰 삼각형을 이루고 있는 3개의 산꼭대기 사이의 거리를 주의 깊게 측정한 후 삼각형의 각도의 합이 180도라고 단정지었다. 가우스의 실험 결과는 현재 우리의 공간은 유클리드 평면이라고 결론 짓고 있지만, 이 실험의 정확도는 지구 표면 근처의 공간 휘어짐을 측정하기엔 충분하지 않았다.

가우스의 공간 곡률 측량과 질량에 의해 시공간 곡률이 휘어진다는 아인슈타인의 일반상대성이론에 의한 우주의 곡률과 기하구조를 이야기하기 전에, 우리가 간단하게 상상하고 관측하는 것이 가능한 2차원 구 표면에서부터 논의를 시작해보도록 하자.

한 개미가 구의 표면 위에 살고 있다. 이 개미는 고개를 들어 위로 바라보지 못하고, 제자리에서 뛰어 오를 수 없기 때문에 개미는 자신이 살고 있는 공간이 2차원 평면 공간이라고 생각하며 살고 있다. 그런데 어느날 이 개미는 비유클리드기하로부터 자신이 실제로 2차원의 평평한 공간에 살고 있는 것이 아닌, 어떠한 형태로 휘어진 공간위에 살고 있을 수도 있다는 것을 알아차렸다. 개미는 고민에 빠졌다. 자신은 구의 표면에서 자유롭게 움직일 수는 있지만, 바깥을 바라보거나 구를 전체적으로 관망하는 것을 불가능 하기 때문이다.

고민을 하던 개미는 구의 북극에서 시작해서, 일정한 거리r 까지 떨어진 점들을 표시해, 이렇게 그려진 원의 원호를 구하는 방법을 생각해냈다. 이제 이 영리한 개미는 이 원의 원주를 측정하고, 이를 기대되는 값 2πr과 비교해본다. 그런게 이 두 값은 같지 않다는 놀라운 사실을 개미가 발견한다.

따라서 이 영리한 개미는 자신이 살고 있는 공간의 곡률이 양수라는 결론을 도달하고, 결국 자신이 구의 표면위에서 살고 있다는 사실을 알게되었다.

실제 우주공간 에서 살고 있는 우리 역시 이 개미와 같은 입장에 처해있다. 우리는 3차원 공간을 조망할 수 있는 4차원 공간에서 3차원 공간을 바라볼 수 없으며, 4차원으로의 이동 역시 불가능하다. 따라서 우리도 개미처럼 다른 방법을 고안해야만 한다.


[1] Bradly W. Carroll, Dale A. Ostlie, An introduction to Modern Astrophysics 2ed Part3, Parson, 2007, 399-401